9. Криволинейные и кратные
интегралы
9.1 Криволинейные
интегралы первого рода
9.1.1 Определение
криволинейного интеграла первого рода
Пусть на плоскости XOY заданы
1. Некоторая кривая С с граничными точками
А и В;
2. Функция двух переменных f(x, y), определенная,
по крайней мере, на кривой С.
Проделаем следующую процедуру, которая является
стандартной для построения определенного интеграла (см. рис.
9.1).
1. Разобьем кривую С на кусочки точками
 и точку А будем считать точкой
 , а точку В – точкой  .
Рис. 9.1 К
построению понятия криволинейного интеграла первого
рода
Пусть  есть длина дуги кривой
С между точками
 и  и  .
2. На каждом отрезке кривой С между точками и выберем произвольным
образом «среднюю точку» с координатами  и составим интегральную
сумму
 .
3. Сделаем предельный переход при  . Если существует  и он не зависит от
способа разбиения кривой С на кусочки и от
способа выбора средней точки, то он называется криволинейным
интегралом первого рода от функции f(x, y) по кривой С и обозначается
символом
 .
Заметьте, что
 .
9.1.2 Вычисление
криволинейного интеграла первого рода
Пусть кривая АВ задана
параметрически в виде
 .
Тогда формула
для вычисления криволинейного интеграла первого рода имеет
вид
 .
Если кривая
задана явно в виде  , то
 .
Если кривая
задана в полярных координатах  , то
 .
9.1.3 Пространственные
кривые
Криволинейный интеграл первого рода по
пространственной кривой определяется совершенно аналогично
криволинейному интегралу по плоской кривой. Если
пространственная кривая задана параметрически
 ,
то
 .
9.2 Криволинейные
интегралы второго рода
9.2.1 Определение
криволинейного интеграла второго рода
Пусть снова на плоскости XOY задана кривая
АВ, которая
проходится в направлении от точки А к точке В. Кроме этой кривой
на плоскости заданы две функции  и  , которые определены, по
крайней мере, на кривой АВ.
Снова разобьем кривую АВ на части точками
и пусть снова  и . Но теперь с дугой  свяжем еще две величины
(см. рис. 9.2).
Рис. 9.1 К
построению понятия криволинейного интеграла второго
рода
Пусть  есть координаты точки
, и  есть координаты точки
. Обозначим через  и  величины проекций дуги
на оси OX и OY. Отметим, что
эти проекции имеют знак: если  , то  если же  , то  . То же самое можно сказать и о
проекции на ось OY.
Как и раньше выберем на куске кривой произвольным образом
среднюю точку и составим уже две интегральные
суммы
 .
Отметьте
отличие этих интегральных сумм от интегральной суммы
криволинейного интеграла первого рода: там стоит длина дуги
, а здесь – величины проекции
этой дуги на оси координат.
Наконец, сделаем предельный переход ; если существуют  и  , и они не зависят от способа
разбиения кривой АВ
на кусочки и от способа выбора средней точки, то они
называются криволинейными интегралами второго рода
 .
Сумма этих
интегралов называется криволинейным интегралом второго рода
общего вида и обозначается символом
 .
Совершенно аналогично определяется криволинейный
интеграл второго рода по пространственной кривой
 .
Заметим, что если кривую АВ пройти в обратном
направлении, от точки В к точке А, то все проекции
сменят знак; поэтому и интеграл сменит знак:
 .
9.2.2 Векторная
форма записи. Физический смысл
Рассмотрим криволинейные интегралы второго рода по
пространственной кривой
 .
Рассмотрим так
называемую вектор-функцию
как трехмерный
вектор с компонентами  ,  и  , а также вектор  . Тогда комбинация, стоящая под
знаком интеграла, есть не что иное, как скалярное произведение
 и  , то есть
 ,
и поэтому
 .
Физически вектор-функция ассоциируется с силовым полем, когда
в каждой точке пространства на материальную точку действует
сила . Примером такого поля может
служить гравитационное поле, электрическое поле, магнитное
поле и т.д. Физически скалярное произведение  имеет смысл работы, которую
силовое поле совершает, перемещая
материальную точку по вектору dr.
Поэтому, с точки зрения физика, криволинейный интеграл второго
рода
есть работа, которую
совершает силовое поле , перемещая материальную точку
по кривой АВ.
Обозначим через a,
b
и g
углы, которые вектор образует с осями OX, OY
и OZ.
Заметим, что длина вектора
есть не что
иное, как дифференциал длины дуги кривой. Поэтому
и мы можем
записать
 .
Заметим, что
слева стоит криволинейный интеграл второго рода, а справа –
криволинейный интеграл первого рода. Эта формула, таким
образом, дает связь между криволинейными интегралами первого и
второго рода.
9.2.3 Вычисление
криволинейных интегралов второго рода
Пусть плоская кривая задана параметрически в виде
 . Тогда
 .
Аналогичная
формула имеет место и для криволинейного интеграла по
пространственной кривой.
9.3 Независимость
криволинейного интеграла от пути
Среди силовых полей в физике особую роль играют так
называемые потенциальные силовые
поля. Их отличительной особенностью является то, что работа,
совершаемая таким полем, зависит лишь от начальной и конечной
точек пути, и не зависит от траектории, соединяющей эти точки.
Математически это соответствует тому, что криволинейный
интеграл второго рода также зависит лишь от начальной и
конечной точек пути, и не зависит от траектории, соединяющей
эти точки. Поэтому с математической точки зрения представляет
интерес выяснение тех условий, при выполнении которых
криволинейный интеграл обладает этим свойством.
9.3.1 Плоский
случай
Пусть дан криволинейный интеграл второго рода по
плоской кривой
 .
Ответ на
поставленный вопрос дают следующие две теоремы.
Теорема 1.
Для того чтобы не зависел от пути
интегрирования необходимо и достаточно, чтобы существовала
такая функция  , что
 .
Теорема 2.
Если в односвязной области существуют и непрерывны  и  , то для того, чтобы было
выполнено условие теоремы 1, необходимо и достаточно, чтобы
 .
9.3.2 Пространственный
случай
В случае интегралов по пространственной кривой
соответствующие теоремы приобретают следующий вид.
Теорема 1.
Для того чтобы  не зависел от пути
интегрирования необходимо и достаточно, чтобы существовала
такая функция,  что  .
Для формулировки второй теоремы введем понятие ротора векторной
функции. Пусть . Тогда ротор этой
функции определяется так:
Теорема 2. Для того
чтобы не зависел от пути
интегрирования необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
условие
 .
9.4 Двойные
интегралы
9.4.1 Определение
двойного интеграла
Пусть на плоскости XOY заданы:
1. Некоторая область D;
2. Функция двух
переменных f(x, y), определенная,
по крайней мере, в области D.
Проделаем построение, типичное для определенного
интеграла (см. рис.9.3).
Рис. 9.3 К
построению понятия двойного интеграла
1. Разобьем область D на части
кривыми, имеющими площадь 0. С каждым кусочком свяжем
следующие величины:
а) площадь  i-го кусочка (сам
кусочек будем обозначать ());
б) величину  , называемую диаметром этого
кусочка, и определяемую как
 .
По сути дела,
есть максимальное
расстояние между точками i-го кусочка
области D.
в) наконец, введем величину  .
2. На каждом кусочке произвольным образом выберем
некоторую точку  , которую будем называть
«средней точкой», и составим интегральную сумму
 .
3. Сделаем предельный переход  . Если существует  и этот предел не
зависит от способа разбиения области D на части от
способа выбора средней точки, то он называется двойным
интегралом от функции  по области D и обозначается
так
 .
9.4.2 Свойства
двойного интеграла
Ниже приведены основные свойства двойного
интеграла.
1.  ;
2.  ;
3. Если  Æ
при i
¹j, то
 ;
4.  ;
5.  ;
6. Если  , то  , где  - площадь области D;
7. Если , то существует m
такое, что  и
 .
В частности,
если непрерывна в области D, то существует
точка  такая что
 .
9.4.3 Вычисление
двойных интегралов
Приведем лишь формулу для вычисления двойных интегралов
по области в виде криволинейной трапеции (см. рис. 9.4).
Рис. 9.4 Область
интегрирования в виде криволинейной трапеции
Теорема.
Если существует  и  существует  , то существует  и имеет место
равенство
 .
9.4.4 Формула
Грина
Пусть имеется односвязная область D окруженная
контуром L.
Пусть в этой области
определены две функции  и  , имеющие непрерывные
производные  и  (см. рис. 9.5).
Рис. 9.5
Иллюстрация к формуле Грина
Тогда имеет
место формула
 ,
называемая формулой Грина. Она
дает связь между криволинейным интегралом второго рода по
замкнутому контуру (символ  означает криволинейный
интеграл по замкнутому контуру; при этом считается, что контур
обходится так, что его внутренняя часть находится слева) и
двойным интегралом по области, которую этот контур
ограничивает.
9.4.5 Замена
переменных в двойном интеграле
Пусть нам необходимо вычислить двойной интеграл по некоторой области D. Для возможного
упрощения вычислений сделаем замену переменных  , переходя от «старых»
переменных x, y
к «новым» переменным x,
h.
В дальнейшем будем предполагать, что  и  непрерывны и имеют
непрерывные частные производные по x
и h.
Кроме того, предполагается, что эта система может быть
однозначно разрешена относительно x
и h:
 , то есть соответствие  взаимно
однозначное.
Рис. 9.6
Соответствие областей D и D
Тогда система каждой точке  ставит в соответствие
точку  на плоскости xOh,
и это соответствие взаимно однозначное. Тем самым область D
отображается в некоторую область D
на плоскости xOh.
Сама формула замены переменных в двойном интеграле
имеет вид
 ,
где величина
 равна
 .
Она называется
якобианом перехода
от переменных x, y
к переменным x,
h. | 
