Глава 12

12.3. Исследование статической устойчивости методом малых колебаний

В установившемся режиме СЭС значения ее параметров под воздействием разных факторов, главным образом нагрузки, изменяются около состояния равновесия. Когда параметры режима получают приращения, которые несоизмеримо малы по сравнению с установившимися их значениями, такие воздействия на состояние равновесия относят к слабым возмущениям.

Если СЭС описывается уравнениями невысокого порядка, то для оценки статической устойчивости режима можно использовать метод малых колебаний. В отличие от оценки статической устойчивости по практическим критериям суть этого метода заключается в исследовании уравнений движения, записанных в виде уравнений малых отклонений.

Пусть состояние СЭС в любой момент времени описывается дифференциальным нелинейным уравнением возмущенного движения вида

(12.53)

где - совокупность показателей режима СЭС, которые являются функциями времени;

- внешние воздействия, изменение которых может быть произвольным.

В состоянии равновесия СЭС характеризуется установившимися значениями этих показателей:

(12.54)

При возмущающие воздействия являются проходящими (предполагаем, что они прекращаются при ). Тогда уравнение (12.54) описывает невозмущенное движение.

Левую часть уравнения (12.53) можно выразить через малые отклонения показателей режима от установившихся значений , записав

(12.55)

Здесь составляющие, которые содержат характеризуют переходный процесс , вызванный возмущениями. Начальные условия для переходного процесса при .

(12.56)

В случае невозмущенного движения .

Оценка устойчивости на основе систем уравнений вида (12.55) обоснована теоремами А. М. Ляпунова. Невозмущенное движение будет устойчивым по отношению к показателям , если при всяком заданном положительном числе , как бы мало оно ни было можно выбрать такое другое положительное число , при котором для любых начальных условий от возмущений , удовлетворяющих неравенствам , для выполняются неравенства .

Если невозмущенное движение устойчиво и дополнительно выполняется условие , то его называют асимптотически устойчивым.

При решении инженерных задач можно руководствоваться физической трактовкой приведенных определений устойчивости в отношении характера переходного процесса no его амплитуде. При апериодической устойчивости переходный процесс по амплитуде затухающий. При колебательном процессе сохранение устойчивости будет при неизменной амплитуде колебаний, а нарушение устойчивости - при увеличении амплитуды колебаний.

Характер переходного процесса можно установить также из анализа системы нелинейных дифференциальных уравнений (12.55). Она линеаризуется методом первого приближения А. М. Ляпунова, после чего анализируется вид корней характеристического уравнения системы линеаризованных уравнений. В основе линеаризации лежит предположение о таком изменении переменных в переходном процессе, при котором их отклонения от установившихся значений остаются все время достаточно малыми.

Линеаризацию системы уравнений (12.55) выполняют разложением левой части уравнений в степенной ряд (Тейлора или Маклорена) по степеням малых отклонений (все производные от рассматриваются как самостоятельные переменные):

(12.57)

Здесь

(12.58)

- сумма членов, состоящих из произведений частных производных (второго и высших порядков) от функции и малых отклонений, а также их производных; - коэффициенты при переменных и (их значения вычисляются по выражениям частных производных функции по в точках .

Если из уравнений (12.57) вычесть уравнения равновесия (12.54) и пренебречь суммой членов степенных рядов , то получим линеаризованные уравнения возмущенного движения (уравнения первого приближения)

Приведем их к более компактной записи, использовав введенные обозначения коэффициентов и оператора дифференцирования :

(12.59)

Об устойчивости нелинейной системы (12.57) судят по затуханию переходного процесса, наличие которого устанавливается по виду корней характеристического уравнения системы (12.59):

(12.60)

Для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы корни характеристического уравнения имели отрицательные вещественные части. При нулевой вещественной части корней нужно дополнительно исследовать отбрасываемые члены в уравнении (12.58). Изменение знака вещественной части корня либо наличие нулевого корня или пары чисто мнимых корней, а также бесконечного корня при остальных корнях с отрицательной вещественной частью определяет границу устойчивости.

Наличие у корней отрицательной вещественной части можно установить прямым решением уравнения (12.60) не выше четвертого порядка. При анализе уравнений более высоких порядков используют математические критерии устойчивости, которые не требуют нахождения значений корней характеристического уравнения.

Применяемые критерии устойчивости делятся на алгебраические (Гурвица, Льенара - Шипара, Рауса) и частотные (Михайлова, Найквиста, логарифмический). Используется также метод D-разбиения. При этом выполняется анализ взаимосвязей отрицательного знака вещественной части корней характеристического уравнения с его коэффициентами . Необходимым, но недостаточным признаком устойчивости невозмущенного движения является факт наличия одинакового знака у коэффициентов характеристического уравнения (обычно оговаривают положительный знак коэффициентов, так как в случае отрицательного знака его легко заменить положительным путем умножения на минус единицу). Этот необходимый признак устойчивости является достаточным для уравнений первого и второго порядков.

Если же не все коэффициенты характеристического уравнения имеют одинаковый знак, то невозмущенное движение неустойчиво и дополнительно устойчивость можно не исследовать.

Критерий Гурвица определяет условия устойчивости системы по характеристическому уравнению (12.60). Для этого составляют определитель из строк и столбцов:

(12.61)

в котором по главной диагонали записывают коэффициенты от до в порядке возрастающей нумерации индексов, строки дополняют коэффициентами так, чтобы они чередовались только с четными (включая ) и нечетными номерами индексов, а номера индексов в строке возрастали слева направо. Недостающие коэффициенты с номерами индексов меньше нуля и больше заменяют нулями.

Для устойчивого исходного состояния равновесия по Гурвицу должны выполняться условия

(12.62)

Здесь диагональные миноры выделяются из главного определителя Гурвица следующим образом:

(12.63)

Границу устойчивости системы находят из уравнения

при (12.64)

Так как в определителе (12.61) последний столбец содержит только один коэффициент, неравный нулю, то

(12.65)

При этом уравнение (12.64) распадается на два равенства: и . Первое определяет границу устойчивости первого типа - апериодическую границу устойчивости, а второе позволяет установить границу устойчивости второго типа - колебательную границу устойчивости.

Условия устойчивости (12.63) в аналитической форме для уравнений выше четвертого порядка громоздки, что обусловливает практическую сложность использования их в анализе и затрудняет выделение вклада отдельных параметров системы в утяжеление режима и формирование границы устойчивости.

Критерий Льенара - Шипара для устойчивости системы требует выполнения двух условий:

1) коэффициенты характеристического уравнения (12.60) должны быть положительными, т. е. ;

2) диагональные миноры и определителя (12.61) должны быть положительными, т. е.

(12.66)

Критерий Рауса для устойчивости системы также требует выполнения двух условий:

1) коэффициенты характеристического уравнения (12.60) должны быть положительными;

2) коэффициенты первого столбца таблицы Рауса (табл. 12.1), содержащей строку, должны быть положительными.

В первую строку табл. 12.1 вписывают в порядке возрастания коэффициенты характеристического уравнения с четными номерами индексов (включая ), во вторую строку - коэффициенты характеристического уравнения с нечетными номерами индексов, а коэффициенты, вписываемые в последующие строки табл. 12.1, рассчитывают по формуле

(12.67)

где

Таблица 12.1. Таблица Рауса

Номера i-й строки | Номера к-го столбца | Коэффициенты
1 | 2 | 3 | 4 | …
1 2 3 4 … | … | … | … | … | … … … … … | - - …

Коэффициенты, записанные в табл. 12.1, получены преобразованием определителя Гурвица (12.61) с использованием свойства, согласно которому значение определителя не изменится, если к коэффициентам любой его строки прибавить коэффициенты другой строки, умноженные на одно и то же число.

Алгоритмическая форма записи критерия Рауса удобна для анализа устойчивости систем с помощью ЭВМ.

Критерий Михайлова при анализе условий устойчивости системы позволяет получить их наглядную геометрическую интерпретацию. Используя корни характеристического уравнения (12.60), последнее можно записать в виде

(12.68)

После замены оператора угловой скоростью колебаний уравнение (12.68) можно записать в виде произведения комплексных сомножителей:

(12.69)

в котором представляется возможным выделить вещественную и мнимую части - модуль и аргумент вектора:

(12.70)

Выражение (12.70) при фиксированной угловой скорости описывает характеристический радиус-вектор в комплексной плоскости по его полярным координатам с модулем и аргументом или координатами конца радиуса -вектор а по оси вещественных чисел

(12.71)

и оси мнимых чисел

(12.72)

Если задаваться рядом возрастающих значений угловой скорости, то точки перемещения радиуса-вектора (12.70) описывают кривую, которую называют кривой Михайлова.

Графический анализ уравнения (12.70) в комплексной плоскости по независимой переменной и зависимым переменным , показывает, что характеристический радиус-вектор с изменением угловой скорости в пределах от 0 до +∞ варьирует по модулю и направлению. Изменение направления радиуса-вектора связано со знаком вещественных частей корней, что следует из представления характеристического уравнения r виде произведения комплексных сомножителей (12.69), аргументы которых (углы поворота ) складываются алгебраически. Каждый из этих сомножителей содержит корень характеристического уравнения и при изменении угловой скорости от нуля до плюс бесконечности соответствует при отрицательной вещественной части корня повороту радиуса-вектора на угол , а при его положительной вещественной части - на угол .

Тогда для характеристического уравнения n-го порядка его корням с положительной вещественной частью соответствует угол поворота , корням с отрицательной вещественной частью - угол поворота , а результирующее изменение направления радиуса-вектора будет

(12.73)

Рис. 12.11. Кривые Михайлова для устойчивых систем уравнений n-го порядка (а) и траектория кривой Михайлова для границ устойчивости первого (1), второго (2) и третьего (5) типов (б)

Выражение (12.73) иллюстрирует сформулированный А. В. Михайловым критерий устойчивости для линейной системы уравнений n-го порядка: если характеристический радиус-вектор в точке кривой Михайлова при последовательном изменении угловой скорости в пределах от 0 до +∞ имеет результирующий угол поворота , то решение системы уравнений устойчиво.

Из графического анализа условий устойчивости системы по критерию Михайлова вытекают следующие положения (рис. 12.11, а):

началом кривой Михайлова является точка на оси вещественных чисел, так как при

и .

кривая Михайлова проходит последовательно против хода часовой стрелки все квадранты комплексной плоскости и уходит в бесконечность в квадранте, соответствующем порядку системы уравнений (прохождение кривой через начало координат требует дополнительных исследований на устойчивость);

должны чередоваться нули выражений

, (12.74.а)

Из этих положений следует вторая формулировка критерия устойчивости Михайлова: для устойчивого решения системы уравнений необходимо, чтобы нули выражений вещественной и мнимой частей характеристического радиуса-вектора (12.74, а) чередовались, были действительными и при .

, (12.74. б)

По виду кривой Михайлова могут быть определены границы устойчивости всех трех типов. При , что соответствует границе апериодической устойчивости, кривая Михайлова выходит из начала координат, свидетельствуя о наличии нулевого корня (рис. 12.11, б, кривая 1).

Для границы колебательной устойчивости характеристическое уравнение имеет вид

Это означает, что, , а кривая Михайлова при угловой скорости незатухающих колебаний проходит через начало координат (рис. 12.11, б, кривая 2).

Границе устойчивости третьего типа соответствует наличие в характеристическом уравнении бесконечного корня. При этом кривая Михайлова изменяет траекторию в зависимости от смены знака с плюса на минус у коэффициента , как показано на рис. 12.11, б (кривая 3).

Метод D-разбиения позволяет выделить область устойчивости в пространстве существенных переменных системы, функционально связанных с коэффициентами характеристического уравнения (12.60), которые при анализе рассматриваются в качестве переменных и позволяют оценить весомость технических параметров в формировании области устойчивости.

Метод заключается в том, что при изменении коэффициентов характеристического уравнения его корни образуют траектории перемещения на комплексной плоскости корней (в общем виде корни представляются комплексными числами). Смена знака вещественной части корня означает пересечение его траекторией мнимой оси комплексной плоскости корней. Координаты точек пересечения образуют так называемую границу D-разбиения пространства коэффициентов характеристического уравнения (параметров технической системы). В этих точках характеристическое уравнение имеет корни на мнимой оси комплексной плоскости корней. Замкнутая граница D-разбиения отделяет области с различным содержанием корней с отрицательной вещественной частью, среди которых проверкой для произвольных точек области по ранее рассмотренным критериям устанавливается область устойчивости (в ней все корни имеют отрицательную вещественную часть).

Для нахождения границ области устойчивости используются все три признака их существующих типов, если показатели системы входят в их выражения: для первого типа , для второго типа из критерия Гурвица или критерия Михайлова , для третьего типа . Границы D-разбиения разделяют области различного числа корней с отрицательной вещественной частью. Это подчеркивают соответствующей их штриховкой. В области, в сторону которой направлены штрихи, число корней с отрицательной вещественной частью больше, чем в смежной области, так как пересечение границы области соответствует переходу траектории корня через мнимую ось плоскости корней.

Для распространенного случая определения границы области устойчивости в плоскости двух показателей А и В рекомендуется такая последовательность действий:

1. Характеристическое уравнение (12.60) представляют в виде (12.70).

2. Приравняв к нулю вещественную и мнимую части уравнения (12.70), получают

(12.75)

(12.76)

3. После совместного решения уравнений (12.75) и (12.76) находят параметрические уравнения

(12.77)

(12.78)

определяющие координаты точек А, В границы D-разбиения для ряда значений в пределах от -∞ до +∞, В (12.77) и (12.78) ,,,- соответственно главный и вспомогательные определители системы уравнений (12.75) и (12.76).

4. При границей D-разбиения являются особые прямые, уравнения которых получают для прямой, соответствующей , из равенства, а для прямой, соответствующей , из равенства при подстановкой в уравнения (12.75) и (12.76).

5. Штрихуют границу D-разбиения в направлении возрастания (о слева при и справа при .

6. Особые прямые штрихуют так, чтобы в месте пересечения (при касании границы области) они были направлены друг к другу только заштрихованными или только незаштрихованными сторонами.

7. Область устойчивости выделяют путем ее проверки в произвольной точке характеристического уравнения на устойчивость по любому критерию. Если данная точка соответствует устойчивому состоянию, то исследуемая область является областью устойчивости.