Глава 12

12.1. Модели элементов при анализе устойчивости

Математическое описание СЭС для исследования их устойчивости основывается на теории дифференциальных уравнений. При этом анализ устойчивости режимов реальных СЭС сводится к исследованию устойчивости решений систем дифференциальных уравнений.

В общем виде СЭС описываются системами дифференциальных уравнений высокого порядка. Для практических расчетов порядок системы уравнений обычно не превышает шести. При ручном счете можно анализировать до десяти уравнений, а при использовании ЭВМ решаются системы уравнений более высоких порядков.

Для оценки устойчивости применяют линеаризацию систем дифференциальных уравнений и понижение их порядка с целью получения простых универсальных методов и алгоритмов расчета. В линейных системах уравнений и системах с несущественной нелинейностью устойчивость анализируется методом малых колебаний. Для больших возмущений при анализе устойчивости используется второй метод Ляпунова или численное интегрирование.

Понижение порядка систем уравнений, описывающих исследуемые процессы, может быть достигнуто их упрощением:

разделением процессов на быстрые и медленные с обособленным их рассмотрением;

заменой групп источников или двигателей одним эквивалентным;

представлением нагрузки обобщенными характеристиками;

выделением существенных факторов в протекающих процессах и пренебрежением второстепенными факторами и малыми параметрами;

линеаризацией характеристик элементов СЭС;

разделением сложной системы на простые подсистемы, которые можно рассматривать независимо.

Трудоемкость решения задачи устойчивости зависит также от уровня аналитического описания математических моделей основных элементов СЭС. Для решения задач устойчивости применительно к СЭС промышленных предприятий приемлемы упрощенные математические описания синхронных и асинхронных машин, элементов сети и узлов нагрузки.

Упрощенное уравнение движения синхронной машины (генератора, компенсатора) может использоваться в виде (11.4), где электрическая (внутренняя) мощность одиночной машины

(12.1)

Здесь - линейная э.д.с. машины; - ток в обмотке ее статора.

Для электрической системы, которая содержит не одну машину, при определении внутренней мощности необходимо учитывать влияние других машин через их э.д.с. и взаимные углы положения роторов. Уравнение внутренней мощности i-й синхронной машины, которая работает параллельно n-1 другими синхронными машинами, имеет вид

(12.2)

где - модули э.д.с. синхронных машин;

- модуль собственной эквивалентной проводимости; - модуль взаимной эквивалентной проводимости между источниками;

,- углы, характеризующие соотношения между составляющими полных собственных и взаимных сопротивлений электрической сети.

Системы электроснабжения предприятий обычно подключаются к шинам центров питания, находящимся под напряжением U. Уравнения внутренних активной и реактивной мощностей синхронного генератора в этом случае имеют вид

(12.3)

(12.4)

где y - модуль проводимости сети между источником и шинами ЭЭС,

Эти же мощности на шинах ЭЭС описываются выражениями

(12.5)

(12.6)

Синхронный генератор при частоте вращения, отличной от синхронной, можно приближенно рассматривать состоящим из двух машин - синхронной и асинхронной. Это позволяет рассматривать при анализе наложение их синхронного и асинхронного моментов.

Уравнение вращающего момента турбины можно составить на основании статических характеристик , где - степень открытия регулирующего клапана энергоносителя турбины.

Нелинейно спадающие характеристики зависят от угловой скорости турбины и степени открытия регулирующего клапана. При медленных изменениях угловой скорости и открытия клапана приближенно их представляют семейством прямых (рис. 12.1):

(12.7)

где - параметры, соответствующие номинальному режиму;

- коэффициент саморегулирования турбины.

Уравнение движения синхронного двигателя при совпадает по составляющим с уравнением (11.4)

(12.8)

Рис. 12.1. Идеализированные характеристики вращающего момента турбины

где - момент сопротивления рабочего механизма, и может использоваться в расчетах кратковременных (до одного цикла качаний) переходных процессов. Допущение приемлемо для синхронных двигателей, которые электрически удалены от места возмущения, сохраняют устойчивость и слабо влияют на режим других машин. Расчетная э.д.с. включена за переходным сопротивлением двигателя и определяется выражением [27]

(12.9)

где активная и реактивная мощности двигателя равны:

, (12.10)

При расчете переходных процессов большой длительности следует иметь в виду, что переходные режимы генераторов характеризуются малыми скольжениями, тогда как скольжение синхронных двигателей может изменяться от нуля до единицы. В этом случае нужно использовать уравнение движения синхронного двигателя

(12.11)

где- линеаризованный асинхронный момент; - коэффициент демпфирования, определяемый по линейной части асинхронной характеристики синхронной машины как, a - скольжение двигателя.

Электромеханический переходный процесс для асинхронного двигателя описывается уравнением движения

(12.12)

Здесь электромагнитный момент двигателя в относительных единицах

(12.13)

где критическое скольжение

(12.14)

а - кратность максимального момента.

В приближенных расчетах устойчивости электромагнитные переходные процессы в асинхронном двигателе можно не учитывать, что позволяет составляющие его мощности описывать уравнениями, действительными для установившегося режима. Последние применительно к упрощенной схеме замещения двигателя (рис. 12.2, а)

имеют вид

(12.15)

Рис. 12.2. Г-образная схема замещения асинхронного двигателя (а) и схема замещения участка электрической сети (б)

Параметры двигателя для Г-образной схемы замещения определяются по каталожным данным с использованием нижеприведенных выражений.

Активное сопротивление, пропорциональное механическому моменту на валу двигателя и определяемое при равном числе витков обмоток ротора и статора,

Индуктивное сопротивление рассеяния статора и ротора

Поправочным коэффициентом а учитывают насыщение главной магнитной цепи двигателя. С учетом насыщения a = 0,3, без учета - a = 0.

Ориентировочные «опорные» значения скольжения при кусочно-линейной аппроксимации - характеристик двигателя и .

Координаты «опорных» точек аппроксимируемых характеристик, и определяются выражениями.

где , - кратность пускового тока и момента соответственно.

Сопротивление намагничивания можно рассчитать по формуле

Момент сопротивления для большинства вращающихся рабочих механизмов выражается зависимостью [24]

(12.16)

где - начальный (статический, ω = 0) момент сопротивления;-номинальный момент сопротивления механизма; р - показатель степени, зависящий от типа оборудования [27].

В уравнениях движения элементы электрической сети (узлы, ветви из ЛЭП, трансформаторов и т. п.) описываются по-разному. Для узла сети с п ветвями должен выполняться баланс активных и реактивных мощностей:

(12.17)

Элементы ветвей сети в схемах замещения представляются в виде последовательно-параллельно включенных активных и реактивных сопротивлений. Параметры режима электрической сети определяются с учетом потерь напряжения и мощности. Например, участок электрической сети на рис. 12.2, б описывается следующими уравнениями:

в начале участка

(12.18,а)

в конце участка

(12.18,б)

Здесь собственные и взаимная проводимости определяются выражениями

а дополнительные углы

Вид уравнений движения нагрузки зависит от принимаемой расчетной модели ее узла - группы разнородных электроприемников, присоединенных к узловой точке сети. Расчетная модель нагрузки предприятия определяется составом потребителей и его распределительной сетью. В общем случае она многоэлементная, где каждый узел нагрузки содержит математическое описание эквивалентных параметров асинхронного и синхронного двигателей, а также статической нагрузки zн (освещение, выпрямители, инверторы, электропечи, нагревательные приборы, коммунально-бытовые электроприемники, конденсаторные батареи и т. п.).

В математическом описании расчетной модели нагрузки используют статические и динамические характеристики. Они представляют собой зависимости потребляемой узлом нагрузки активной и реактивной мощностей, вращающего момента или тока от напряжения и частоты.

Статические характеристики нагрузки

(12.19)

определяют вариации ,, при медленных изменениях напряжения и угловой скорости. Задание нагрузок в виде постоянных сопротивлений следует рассматривать как частный случай статических характеристик.

Динамические характеристики нагрузки - это зависимости от тех же аргументов и, дополнительно, от скоростей их изменения:

(12.20)

Эти характеристики позволяют отразить быстрые изменения режима нагрузки.

Выбор вида характеристики нагрузки предопределяется необходимой точностью решения задачи устойчивости. В приближенных расчетах устойчивости СЭС наиболее часто используется модель нагрузки в виде комплексного сопротивления. С использованием математических моделей элементов строится модель всей СЭС.

С точки зрения выполняемых упрощений математические модели системы можно подразделить на консервативные позиционные и диссипативные [7]. Описание системы консервативной позиционной моделью соответствует допущениям, в соответствии с которыми в системе отсутствуют потери энергии, зависящие от частоты вращения машин (значит, любые возмущения режима приводят к незатухающим колебаниям), а все действующие моменты не зависят от изменения частоты вращения машин, за исключением тех, которые связаны с инерционностью роторов. Поэтому при позиционной идеализации в уравнениях движения моменты в относительных единицах можно заменить мощностями. Мощности турбин, э.д.с. машин, частота и сопротивления пассивных элементов электрической сети принимаются постоянными, а электромагнитная мощность зависит только от положения роторов синхронных машин.

В диссипативной модели системы учитывается, что моменты машин зависят от положения роторов и скорости их изменения, а также от показателей, определяемых различными системами регулирования, электромагнитными и электромеханическими переходными процессами в элементах.

Упрощенный подход к расчету электромеханических переходных процессов на основе позиционной модели приемлем для анализа устойчивости СЭС предприятий. При централизованном электроснабжении в СЭС всегда есть шины бесконечной мощности (условие неизмененности напряжения и частоты). Кроме того, задача устойчивости решается на малом интервале времени (до 0,2-0,5 с) от начала действия возмущения. При этом определяющими в отношении устойчивости являются синхронизирующие моменты, а инерционные моменты, зависящие от частоты вращения, проявляются незначительно.